Teorema De Leonardo.
Existen cinco, y solo cinco, Poliedros Regulares Estrellados.
Los cinco poliedros
regulares cóncavos estrellados están representados por el Conjunto W:
W= {4(6, 3) + 4(3, 3), 8(6, 3) + 6(4, 3), 20(6, 3) + 12(5,3), 6(8, 3) + 8(3, 3), 12(10, 3) + 20(3, 3)}
Tesis:
Demostrar que el conjunto W está
compuesto por los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que
existen.
Demostración:
•
A =2mn / 2m+2n – mn: Como
los poliedros regulares convexos son los que generan los poliedros regulares
cóncavos estrellados, utilizaremos la fórmula de Euler: C = 2A /n, V = 2A /m,
donde C + V - A = 2, sustituyendo:
2A /m + 2A /n – A = 2.
Multiplicando por (1/2A) (2A /m + 2A /n – A = 2) igual a (2A/2Am +2A/2An – A/2A = 2/2A).
Reduciendo = 1/m + 1/n – 1/2 = 1/A
Resolviendo el primer miembro de la igualdad y sustituyendo
2n + 2m – mn /2mn = 1/A
Transponiendo A y 2mn
A (2n + 2m – mn) = 2mn
Despejando A =2mn /2m+2n-mn.
•
3 =
b, 3 = n: Los poliedros regulares cóncavos estrellados están
todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros, entonces
siempre b = n =3, por ley transitiva de la igualdad b = 3.
•
J
(2a, b) + T (m, n): es designado con el nombre de BISPAR POLIÉDRICO, en
el cual J(2a, b) es el primer miembro del bispar poliédrico y : es el segundo
miembro del bispar poliédrico. Los poliedros estrellados poseen dos clases de
vértices que están representados por la variable (T) y la variable (J).
Teniendo en cuenta que para el primer miembro del bispar poliédrico cóncavo J (2a, b),
360 ≤ s ≤ 720. La suma de los
ángulos del conjunto de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a
cuatro ángulos rectos y menor o igual que ocho ángulos rectos. Para el segundo
miembro del bispar poliédrico T(m, n) teniendo en cuenta que , 360° ˃ s ≥ 180. La suma de los ángulos del conjunto de
polígono comunes a un vértice es menor que cuatro ángulos rectos
•
E= 2A: Por cada arista intermedia que forman un
poliedro regular estrellado existen dos arista estrelladas.
•
J = E /a y también J =
2A / a: Porque la cantidad de vértices cóncavo intermedio es directamente proporcional a la cantidad
total de sus aristas exteriores, e inversamente proporcional a la cantidad de
aristas intermedias que convergen en unos de los vértice cóncavo intermedio.
Por lo tanto. esto se cumple en J (2a, b).
•
F =
E, y también F=2A: Porque la cantidad de caras exteriores de un poliedro
estrellado es directamente proporcional a la cantidad de aristas exteriores del
poliedro estrellado: Esto es debido a que cuando estamos formando una estelación
regular la cantidad de aristas exteriores aumentan en la misma proporción que
la cantidad de caras exteriores. Los poliedros estrellados tienen sus leyes
diferentes a los poliedros convexos, por lo tanto se cumple J (2a, b);
F + T – E = T,donde T ≥ 4:
Como el tetraedro estrellado Davinciano es el poliedro regular estrellado que
posee la menor cantidad de vértices exteriores y tiene 4 vértices exteriores.
entonces la nueva ley que siempre se cumple en los poliedros regulares
estrellados es: F
+ T – E = ≥ 4.
•
T =
2A / m: Se cumple en (m, n).
•
T =
E/m: Se cumple en (m, n).
•
A=E
/2: Despejando la fórmula que está en el literal (D).
•
E = 4ab /2a + 2b - ab: Si en la
fórmula del literal (D): E=2A, a = m, b = n, sustituimos en el literal
(A) el valor de la arista intermedia y efectuamos la operación E=2 (2mn /
2m + 2n – mn), sustituyendo las variables m, n, por las variables a, b.
tenemos: E = 4ab /2a + 2b – ab, por ley
transitiva de la igualdad es válida para el primer miembro del bispar poliédrico
J (2a, b).
•
Primera ley de la
estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un
poliedro regular convexo el conjunto de caras intermedias desaparece debido a
que quedan sepultadas debajo del conjunto de las caras exteriores del poliedro
nuevo que se ha formado.
•
Segunda ley de laestelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un
poliedro regular convexo el poliedro nuevo que se ha formado es una estelación
del poliedro anterior.
•
Símbolos de las
variables: A= aristas intermedia o planas; V=
vértices intermedio; C= caras intermedias o planas; E= aristas exteriores o estrelladas; F =
caras exteriores o estrelladas; T= vértices exteriores o estrellados; n = número de lados del polígono regular; m =
número de aristas que tiene un vértice; s= variable que indica la suma de los
ángulos que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice; J= es el doble
de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio; La variable J=
2m y m ≥ 3; R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro
seleccionado; Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I,
cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.
Primera etapa siendo las variables:
a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3.
En la primera etapa
de la demostración, esgrimiendo demostraciones basadas en la reducción al
absurdo, asignaremos los valores de las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3. Sustituyendo en
el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b),
e instauramos las fórmulas que están en los literales (J) E = 4ab /2a + 2b – ab. (D) E=2A, (E) J =
E /a, (F) F = E, Para el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n)
utilizaremos las fórmulas que están en los literales (H) T =E/m, (I) A=E /2.Con
estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los
poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características
encontradas en la primera etapa.
•
Siendo a =3. b = 3,
m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la
cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b –
ab = 4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 36/3 = 12 entonces E= 12,
satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E,
E=12, F=12; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m
= 12 / 3 = 4, T = 4; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = E /a,
J= 12/3, J=4; resolviendo el número de aristas intermedias: A=E /2 =12/2=6, A=6: Sustituyendo J =
4, a =3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =4 (2(3), 3) = 4(6, 3), Sustituyendo T
= 4, m=3, n=3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n)
= 4(3, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes
resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 6 aristas
intermedias y 12 aristas exteriores, que suma un total de 18 aristas, además
posee cuatros vértices intermedios 4 (6, 3)
y cuatros vértices exteriores 4 (3, 3), lo cual suma un total de 8 vértices; Posee 12 caras
exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos
que todas estas características indican que el poliedro es el Tetraedro
estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y
publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto
concluimos que el primer poliedro regular cóncavo estrellado es el Tetraedro
Estrellado Davinciano cuyo bispar
poliédrico es: 4 (6, 3) + 4(3, 3).
•
Siendo a =4. b = 3,
m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la
cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b –
ab = 4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 48/2 = 24 entonces E= 24,
satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E,
E=24, F=24; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m
= 24 / 3 = 8, T = 8; resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J = E /a.
J = 24/4 = 6, J = 6; resolviendo el número de aristas intermedias: A=E /2 =24/2=12, A=12: Sustituyendo J
= 6, a =4. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b) = 6 (2(4), 3) = 6(8, 3), Sustituyendo T
= 8, m=3, n=3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n)
= 8(3, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes
resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 12 aristas
intermedias y 24 aristas exteriores, que suma un total de 36 aristas, además
posee 6 vértices intermedios 6 (8, 3) y
8 vértices exteriores 8 (3, 3), lo cual
suma un total de 14 vértices; Posee 24 caras exteriores triangulares
equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas
características indican que el poliedro es la estrella octángula de Kepler,
cuyo bispar poliédrico es 6 (8, 3) + 8
(3, 3).
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Estrella_Octangular_de_Kepler.gif https://www.geogebra.org/m/nmp3e6MZ
https://es.wikipedia.org/wiki/Estrella_oct%C3%A1ngula https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Estrella_Octangular_de_Kepler.gif
•
Siendo a = 5. b =
3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar
la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b
– ab = 4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 60/1 = 60 entonces E= 60,
satisface la ecuación. Resolviendo el número de caras exteriores: F = E,
E=60 por ley transitiva de la igualdad
F=60; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 60 / 3 = 20, T = 20;
resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J
= E /a, J= 60 / 5 =12, J=12; resolviendo el número de aristas
intermedias: A = E /2 = 60 / 2 = 30,
A=30: Sustituyendo J = 12, a = 5. b = 3, en el primer miembro del bispar
poliédrico J (2a, b), =12 (2(5), 3) = 12(10, 3), Sustituyendo T = 20, m=3,
n=3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 20(3, 3). Aplicando las
leyes de las estelaciones tenemos los siguientes resultados. Este poliedro
regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas intermedias y 60 aristas
exteriores, que suma un total de 90 aristas, además posee 12 vértices
intermedios 12 (10, 3) y 20 vértices
exteriores 20 (3, 3), lo cual suma un
total de 32 vértices; Posee 60 caras exteriores triangulares equiláteras que
son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican
que el poliedro es el icosaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por
Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático
Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo
estrellado es el icosaedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 12(10, 3) + 20 (3, 3)
•
Siendo a =6. b = 3,
m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la
cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b –
ab = 4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72/0 = indefinido. entonces E =
indefinido, no satisface la ecuación. Hemos concluido la primera etapa de la
demostración siendo a ≥3.
Segunda
etapa siendo el literal: m ≥ 3, n = 3, a = 3. b = 3.
En la segunda etapa, usando
demostraciones basada en la reducción al absurdo, asignaremos el valor a = 3. b
= 3, m ≥ 3, n = 3. Sustituyendo en el miembro del bispar poliédrico T(m, n),
al cual le corresponden las fórmulas que están en los literales (A) A =2mn / 2m+2n – mn, (G) T = 2A /m, y luego trabajamos con el primer miembro
del bispar poliédrico J (2a, b), utilizando los literales (D) E=2A, (E) J = 2A / a , (F) F = 2A. Con estos datos y las
leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros
regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características
encontradas en la segunda etapa.
•
Siendo m = 4, n =
3, a = 3. b = 3 aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la
cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m+2n – mn = 2 (4) (3) / 2 (4) + 2
(3) -4 (3) = 24/2 = 12 entonces A=12, satisface
la ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E =2A, E=2(12)=24, E=24; resolviendo el número de
caras exteriores: F = 2A, F=2(12)=24, F=24; resolviendo el
número de vértices exteriores: T = 2A / m = 2(12) / 4 = 6, T = 6; resolviendo
el número de vértices cóncavo intermedio
J = 2A / a = 2(12) / 3 =8, J=8; Sustituyendo J = 8, m = 4, n = 3, en el
primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b),
=8 (2(3), 3) = 8(6, 3), Sustituyendo T = 6, m =4, n =3 en el segundo miembro
del bispar poliédrico T(m, n) = 6(4, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones
tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado
tiene 12 aristas intermedias y 24 aristas exteriores, que suma un total de 36
aristas, además posee 8 vértices intermedios 8 (6, 3) y 6 vértices exteriores 6 (4, 3), lo
cual suma un total de 14 vértices; Posee
24 caras exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí.
Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el
hexaedro estrellado Davincian, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en
1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo
tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el
hexaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar
es: 8(6, 3) + 6(4, 3).
•
Siendo
m = 5, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para
determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m+2n – mn = 2
(5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/1 = 30 entonces A=30, satisface la
ecuación. Resolviendo el número de aristas exteriores: E
=2A, E=2(30)=60, E=60; resolviendo el número de caras exteriores: F = E,
E=60 por ley transitiva de la igualdad
F=60; resolviendo el número de vértices exteriores: T = E / m = 60 / 5 = 12, T = 12;
resolviendo el número de vértices cóncavo intermedios: J
= 2A / a = 2 (30) / 3 = 20, J=20;
Sustituyendo J = 20, a = 3. b = 3, en el
primer miembro del bispar poliédrico, J = 2A / a, =20 (2(3), 3) = 20(6, 3),
Sustituyendo T = 12, m=5, n=3 en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n)
= 12(5, 3). Aplicando las leyes de las estelaciones tenemos los siguientes
resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado tiene 30 aristas
intermedias y 60 aristas exteriores, que suma un total de 90 aristas, además
posee 20 vértices intermedios 20 (6, 3)
y 12 vértices exteriores 12 (5, 3), lo cual suma un total de 32 vértices; Posee 60 caras
exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos
que todas estas características indican que el poliedro es el dodecaedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por
Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en 1508 en el libro del Monge matemático
Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el quinto poliedro regular cóncavo estrellado es el
dodecaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar poliédrico es: 20(6, 3) + 12(5, 3)
•
Siendo m = 6, n =
3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar
la cantidad de aristas intermedias:A =2mn / 2m+2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2
(3) -6 (3) = 36/0 = indefinido. entonces A = indefinido, no satisface la
ecuación. Hemos concluido la segunda etapa de la demostración siendo m ≥ 3.
Conclusión.
Hemos
demostrado que los poliedros regulares cóncavos estrellados son generados por
los poliedros regulares convexos debido a que en cada bispar poliédrico existe
un poliedro regular que es el que genera los datos para determinar el poliedro
regular cóncavo estrellado.
También
hemos demostrado que el conjunto E está
formado por un conjunto de cinco bispares poliédricos que representan los
únicos cinco poliedros regulares cóncavos estrellados, E = {Dodecaedro
estrellado Davinciano 20 (6, 3) + 12 (5, 3), Hexaedro estrellado Davinciano 8
(6, 3) + 6 (4, 3) , Tetraedro Estrellado
Davinciano 4 (6, 3) + 4 (3, 3), Estrella
Octángula De Kepler 6 (8, 3) +
8 (3, 3), Icosaedro Estrellado Davinciano 12 (10, 3) + 20 (3, 3).}
Concluimos
afirmando que en la humanidad no ha habido, ni habrán otros poliedros regulares
cóncavos estrellados que no sean estos cinco poliedros los cuales forman el
conjunto E.
L.q.q.d.
L.q.q.d.
Icosaedro Estrellado Davinciano |
Dodecaedro estrellado Davinciano |
Estrella octángula de Kepler |
Hexaedro Estrellado Davinciano |
Tetraedro Estrellado Davinciano |