El Cuarto Teorema De Leonardo:
Existen Cincos y Solo Cincos Poliedros Regulares
Estrellados.
Los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados
los cuales están representados por el Conjunto E:
E= {(6, 3) + (3, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5,
3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}
Tesis:
Demostrar que el conjunto E está compuesto por los
únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.
Demostración:
a)
A = 2mn / 2m + 2n – mn,
como los poliedros regulares convexo, son los que generan los poliedros
regulares cóncavos, utilizaremos la formula de Euler C + V - A = 2,
sustituyendo, C = 2A /n, V = 2A /m, en 2A /n + 2A /m – A = 2, multiplicando la ecuación
por 1/2A, tenemos 1/n + 1/m – A = 2, despejando el valor de la arista,
A = 2mn / 2m + 2n – mn.
b)
(n =3) Como los poliedros regulares cóncavos
estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos
equiláteros entonces siempre n = 3.
c)
(2m, n) + (m, n). Como los
poliedros estrellados poseen dos clases de vértices, donde la cantidad de
arista del vértice cóncavo intermedio (2m, n), de un
poliedro regular estrellado, es el doble de la cantidad de aristas del
vértice convexo exterior (m, n), de un poliedro regular cóncavo estrellado. (2m,
n) + (m, n) es designado con el nombre de bis-par poliédrico en el cual (2m, n)
es el primer miembro del bis-par poliédrico y (m, n) es el segundo miembro del
bis-par poliédrico.
d)
+A= + (2A), por cada arista intermedia en un
poliedro regular estrellado, existen dos arista estrelladas, se cumple en (2m,
n).
e)
+V= 2(+A/j), porque la cantidad de vértices
exteriores es directamente proporcional al producto del doble de sus aristas
exteriores e inversamente proporcional al producto del doble de las aristas que
convergen en el vértice cóncavo intermedio. Se cumple en (2m, n).
f)
+ C = + A, por que la cantidad de caras exteriores
de un poliedro estrellado es directamente proporcionar a la cantidad de aristas
exteriores del poliedro estrellado, esto es debido a que cuando estamos
formando una estelación regular, la cantidad de aristas exteriores aumentan en la misma proporción que la
cantidad de caras exteriores. Los poliedros estrellados tienen sus leyes
diferentes a los poliedros convexo, por lo tanto en (2m, n). (+C) + (+V) – (+A)
= +V, como el tetraedro tiene 4 vértices y es el poliedro de menor número de
vértice entonces la nueva ley que siempre se cumple (+C) + (+V) – (+A) ≥
4.
g)
C= 2 A / n, se cumple en (m, n).
h)
V= 2A / m, se cumple en (m, n).
i)
A=+A /+2 despejando la formula que está en (d).
j)
+4mn / 2m + 2n – mn. si en la formula (d),
+A=+2(A) Sustituimos en (a) el valor de la arista intermedia y efectuamos
la operación +A=+2 (2mn / 2m + 2n – mn) tenemos +A= +4mn / 2m +2n - mn,
por ley transitiva de la igualdad es válida para (2m, n)
k)
En la primera etapa de la demostración, esgrimiendo
demostraciones basada en la reducción al absurdo asignaremos el valor de m = 3,
n = 3 al primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) = (6, 3) y instauramos
las formulas que están en (d), (e), (f), las cuales son utilizadas en el
momento que le asignemos las cantidad de aristas exteriores; las cuales son establecidas,
después que comprobemos la cantidad de aristas intermedias que corresponden al segundo
miembro del bis-par poliédrico. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico
cóncavo (2m, n), 360 ≤ s ≤ 720, que la sumas de los ángulos del conjunto
de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y
menor que ocho ángulos rectos. Para el segundo miembro del bis-par poliédrico
(m, n), las variables m ≥ 3, n = 3 y utilizaremos las formulas que están en (a),
(g), (h), C = 2A /n, V = 2A /m, y
establecer las cantidades de las variables que satisfacen la ecuación A = 2mn /
2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el segundo miembro del bis-par
poliédrico (m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de
polígono comunes a un vértice es menor que cuatro ángulos recto. Con estos
datos y las leyes que están (m), (n), determinaremos el poliedro regular
cóncavo estrellado, que corresponda a las características encontradas.
l)
Segunda etapa de la demostración, usando
demostraciones basada en la reducción al absurdo asignaremos el valor de m ≥ 3,
n = 3 al primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n), al cual le corresponden las
formulas que están en (e), (f), (j), +A = + 4mn / 2m + 2n – mn, +V= 2(+A/2m), +
C = + A. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico
cóncavo (2m, n), 360° ≤ s ≤ 720°, que la sumas de los ángulos del
conjunto de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos
rectos y menor que ocho ángulos rectos. Con los datos de las cantidad de
aristas del primer miembro del bis-par poliédrico, definiremos utilizando
formula la cantidad de arista del segundo miembro del bis-par poliédrico. Para
el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n), las variables m = 3, n = 3 y
utilizaremos las formulas que están en (g), (h), (i), A = +A/+2, C = 2A / n, V = 2A / m. Teniendo en cuenta que para el segundo miembro del bis-par poliédrico
(m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono
comunes a unos de los vértices de un poliedro regular es mayor o igual que dos
ángulos rectos y es menor que cuatro ángulos recto. Con estos datos y las leyes
que están (m), (n), determinaremos el poliedro regular cóncavo estrellado, que
corresponda a las características encontradas.
m)
Primera ley de las estelación de un poliedro
regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el
conjunto de caras intermedias desaparece, debido a que quedan sepultadas debajo
del conjunto de las caras exteriores, del poliedro nuevo que se ha formado.
n)
Segunda ley de la estelación de un poliedro
regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo, el
poliedro nuevo que se ha formado es una estelación del poliedro anterior.
o)
Símbolos de la variables: A=aristas
intermedia, V = Vértices, +A =Aristas exteriores, +C = caras exteriores, C=
caras intermedias, n=numero de lados del polígono regular, m =numero de aristas
que tiene un vértice, s = variable que indica la suma de los ángulos, que
poseen los polígonos regulares comunes a
un vértice, j = es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo
intermedio. La variable J= 2m y J ≥ 3, R= representa el grado de regularidad o
irregularidad del poliedro seleccionado. Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el
poliedro es regular el grado de regularidad no se marca
El bis-par
poliédrico (2m, n) + (m, n), Primera etapa aplicando (k).
A) Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en el segundo
miembro del bis-par poliédrico (m, n) = (3, 3), aplicando formulas y
resolviendo la ecuación, A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3
(3) = 18/3 = 6 entonces A = 6, satisface la ecuación. C = 2A / n = 2 (6) / 3 =
4, C = 4, V = 2A / m = 2 (6) / 3 = 4, V = 4. Sustituyendo, m = 3, n =3, en el
primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) = (2(3), 3) = (6, 3), aplicando
formulas y resolviendo +A = +2 (A) = +2
(6) = +12, A = +12, + C= +A = +12, C = +12, +V = 2 (+A/2m) = 2 (+12 /6) = 2
(+2) = +4, V = +4. Aplicando las leyes de las estelaciones (m), (n), tenemos
los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado, tiene 12
aristas intermedias y +24 aristas exteriores, que suma un total de 36 aristas.
Además tiene 4 (6, 3) vértices cóncavos intermedios y +4 (3, 3) vértices convexos
exteriores, lo cual suma un total de 8
vértices. Posee +12 caras exteriores triangulares equiláteras que son
congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican, que
el poliedro es el Tetraedro estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo
Da vinci en 1498 y publicado en 1508, en el libro del Monge matemático Luca
Pacioli, por lo tanto concluimos
que el primer poliedro regular cóncavo estrellado, es el Tetraedro Estrellado
Davinciano.
B) Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en el segundo
miembro del bis-par poliédrico (m, n) = (4, 3), aplicando formulas y
resolviendo la ecuación, A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4
(3) = 24/2 = 12 entonces A = 12, satisface la ecuación. C = 2A / n = 2 (12) / 3
= 8, C = 8, V = 2A / m = 2 (12) / 4 = 24/4, V = 6. sustituyendo, m = 3, n =3,
en el primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) = (2(3), 3) = (6, 3),
aplicando formulas y resolviendo +A = +2
(A) = +2 (12) = +24, A = +24, + C= +A = +24, C = +24, +V = 2 (+A/2m) = 2 (+24
/6) = 2 (+4) = +8, V = +8. Aplicando las leyes de las estelaciones (m), (n),
tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado,
tiene 12 aristas intermedias y +24 aristas exteriores, que suma un total de 36
aristas. Además tiene 8 (6, 3) vértices cóncavos intermedios y +6 (4, 3)
vértices convexos exteriores, lo cual suma un total de 14 vértices. Posee +24 caras
exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos
que todas estas características indican, que el poliedro es el Hexaedro
Estrellado Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado
en 1508, en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el segundo poliedro regular cóncavo
estrellado, es la Hexaedro Estrellado Davinciano.
C) Siendo
m = 5, n =3 sustituyendo en el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n) =
(5, 3), aplicando formulas y resolviendo la ecuación, A = 2mn / 2m + 2n – mn =
2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/1 = 30 entonces A = 30, satisface la
ecuación. C = 2A / n = 2 (30) / 3 = 20, C = 20, V = 2A / m = 2 (30) / 5 = 60/5,
V = 12. sustituyendo, m = 3, n =3, en el primer miembro del bis-par poliédrico
(2m, n) = (2(3), 3) = (6, 3), aplicando formulas y resolviendo +A = +2 (A) = +2 (30) = +60, A = +60, +C= +A =
+60, C = +60, +V = 2 (+A/2m) = 2 (+60 /6) = 2 (+10) = +20, V = +20. Aplicando
las leyes de las estelaciones (m), (n), tenemos los siguientes resultados. Este
poliedro regular cóncavo estrellado, tiene 30 aristas intermedias y +60 aristas
exteriores, que suma un total de 90 aristas. Además tiene 12 (5, 3) vértices
convexos exteriores y +20 (6, 3) vértices cóncavos intermedios, lo cual suma un total de 32 vértices. Posee +60 caras
exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos
que todas estas características indican, que el poliedro es el Dodecaedro Estrellado Davinciano el cual
fue pintada por Leonardo Da vinci en 1498 y publicada en 1508, en el libro del
Monge matemático Luca Pacioli, por
lo tanto concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado, es el
Dodecaedro Estrellado Davinciano.
D) Siendo
m = 6, n =3 sustituyendo en el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n) =
(6, 3), aplicando formulas y resolviendo la ecuación, A = 2mn / 2m + 2n – mn =
2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36/0 = indefinido. entonces A = indefinido, no
satisface la ecuación.
El bis-par
poliédrico (2m, n) + (m, n), Segunda etapa aplicando (l).
E)
Siendo m
= 4, n =3 sustituyendo en el primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) = (8,
3), aplicando formulas y resolviendo la ecuación, +A = +4mn / 2m + 2n – mn = +4
(4) (3) / 2 (4) + 2 (3) - 4 (3) = +48/2 = +24 entonces +A = 24, satisface la
ecuación. +C= +A = +24, C = +24, +V = 2 (+A/2m) = 2 (+24 /8) = 2 (+3) = +6, V =
+6. Sustituyendo, m = 3, n =3, en el segundo miembro del bis-par poliédrico (m,
n) = (3, 3) aplicando formulas y resolviendo, A =
+A/+2 = +24 /+2 =12, A = 12, C =
2A / n = 2 (12) / 3 = 8, C = 8, V = 2A / m = 2 (12) /3 = 24/3, V = 8. Aplicando las leyes de las estelaciones (m),
(n), tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular cóncavo estrellado,
tiene 12 aristas intermedias y +24 aristas exteriores, que suma un total de 36
aristas. Además tiene 6 (8, 3) vértices cóncavos intermedios y +8 (3, 3) vértices
convexos exteriores, lo cual suma un
total de 14 vértices. Posee +24 caras exteriores triangulares equiláteras que
son congruentes entre sí. Concluimos que todas estas características indican,
que el poliedro es la Estrella Octángula De Kepler la cual fue pintada por Leonardo
Da vinci en 1498 y publicada en 1508, en el libro del Monge matemático Luca
Pacioli, por lo tanto concluimos
que el cuarto poliedro regular cóncavo estrellado, es la Estrella Octángula de
Kepler.
Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en el primer miembro
del bis-par poliédrico (2m, n) = (10, 3), aplicando formulas y resolviendo la
ecuación, +A = +4mn / 2m + 2n – mn = +4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) - 5 (3) = +60/1
= +60 entonces +A = +60, satisface la ecuación. +C= +A = +60, C = +60, +V = 2
(+A/2m) = 2 (+60 /10) = 2 (+6) = +12, V = +12. Sustituyendo, m = 3, n =3, en el
segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n) = (3, 3) aplicando formulas y
resolviendo, A = +A/+2 = +60 /+2 =30, A = 30, C = 2A / n = 2 (30) / 3 = 20,
C = 8, V = 2A / m = 2 (30) /3 = 60/3, V
= 20. Aplicando las leyes de las
estelaciones (m), (n), tenemos los siguientes resultados. Este poliedro regular
cóncavo estrellado, tiene 30 aristas intermedias y +60 aristas exteriores, que
suma un total de 90 aristas. Además tiene 12 (10, 3) vértices cóncavos
intermedios y +20 (3, 3) vértices convexos exteriores, lo cual suma un total de 32 vértices. Posee +60 caras
exteriores triangulares equiláteras que son congruentes entre sí. Concluimos
que todas estas características indican, que el poliedro es el Icosaedro Estrellado
Davinciano, el cual fue pintado por Leonardo Da vinci en 1498 y publicado en
1508, en el libro del Monge matemático Luca Pacioli, por lo tanto concluimos que el quinto poliedro regular cóncavo
estrellado, es el Icosaedro Estrellado Davinciano.
Conclusión.
Hemos demostrado que los poliedros
regulares cóncavos estrellados son generados por los poliedros regulares
convexos, debido que en cada bis-par
poliédrico existe un poliedro regular que es el que genera los datos para
determinar el poliedro regular cóncavo estrellado.
También hemos demostrado que el conjunto E, está formado por un conjunto de
cincos bis-pares poliédricos que representan los únicos cincos poliedros
regulares cóncavos estrellado, E = {(6, 3) + (5, 3) Dodecaedro estrellado
Davinciano, (6, 3) + (4, 3) Hexaedro estrellado Davinciano, (6, 3) + (3, 3)
Tetraedro Estrellado Davinciano, (8, 3) + (3, 3) Estrella Octángula De Kepler, (10,
3) + (3, 3) Icosaedro Estrellado Davinciano}
Concluimos afirmando que en la humanidad
no ha habido, ni habrán otros poliedro regulares cóncavos estrellado, que no
sean estos cincos poliedros los cuales forman el conjunto E.
L.q.q.d
